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「1+2+3+4+…=-1/12」をわかったつもりになる

今日は、次の質問サイトに載っている質問と僕の回答について、書きたいと思います。

【1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12 を分かったつもりになりたい】 1 … – 人力検索はてな

この質問に僕が回答したのですが、結構がんばって書いたので自分のブログにも回答を載せておきたいと思ったので書きます。今数えてみると、3000文字近い謎の長文回答なのですが、その回答にぐだぐだとコメントをつけていきたいと思います。

なお、このブログはいつも888文字で書いていますが、今日は8888文字の超ロングバージョンです。

質問内容について

さて、僕がどんな質問に答えたか、というのをまずは書いておきましょう。質問は次のような内容です。

1+2+3+4+…=-1/12になると聞いたが、この数式がなぜ成り立つのか。

はじめに言っておきますが、この質問者がおかしなことを言ってるわけではありません。釣りではありません。普通は、どう考えても「1+2+3+4+…」の結果は「無限大」であり、間違ってもマイナスになることなんてありえません。しかし、これはまったくデタラメな式でもないのです。実際、次に書くように、wikipediaにもこの式が載っています。

この質問の文中に「1+2+3+4+…」というwikipediaへのリンクが貼られています(個人的には、こんなタイトルのページがあったことに驚きました)。そこでは次のように書かれています。

様々な総和法を用いることで、上記のごとき発散級数にさえ有限な数値を割り当てることができ、特にゼータ函数正規化やラマヌジャン総和法では件の級数に −1/12 を値として割り当てる。この事実をよく知られた公式1+2+3+4+…=-1/12として式に表す。

1+2+3+4+…

たしかに、「1+2+3+4+…=-1/12」と書かれています。しかし、「割り当てる」とか「として式に表す」などといった、ちょっと微妙な表現が使われています。普通ならば、「こういう値となる」とか「この等式が成り立つ」などといった表現になるはずです。「割り当てる」などの表現には「本当は違うんだけど、そういうことにしておきますよ」というニュアンスが入っているように思われます。

さて、いったいこの式はなんなんでしょう。そして、どこから出てくるのでしょう。

実は先ほどのwikipediaの文中にそのまま答えが書いています。これは「ゼータ函数正規化」の仕業です。同じページのもっと後のほうで、次のようにも書かれています。

リーマンゼータ函数を導入するメリットは、そうすれば s に関する解析接続によって級数の収斂領域の外側まで矛盾なく定義することができることにある。そうして、級数 1 + 2 + 3 + 4 + … のゼータ函数正規化された「和」を ζ(−1) = −1/12 と定義するのである。

1+2+3+4+…

無理やり引用してきたのでわかりにくいですが、「ゼータ関数を解析接続した結果を用いて、1+2+3+4+…を-1/12と定義するんだよ」といったことが書かれています。

数学がある程度分かる人には、「あぁなるほど」で終わるかもしれません。が、普通の人にはまったくもって意味不明です。僕の回答は、単にこの「ゼータ関数の解析接続」の部分を解説したにすぎません。ま、そこがとても大変なんですけれども。

回答の概要について

さて、「1+2+3+4+…=-1/12」についてですが、「わかりにくい概要」から書いていきましょう。「わかりやすい概要」ではありませんので注意してください。むしろ、ここは飛ばしてもいいくらいです。

この式の左辺はゼータ関数の解析接続前の姿であり、右辺はゼータ関数の解析接続後の姿です。解析接続の前後で中身は変わっているため、両辺は一致しません。しかし、解析接続の前と後を比べたとき、両者にはとても密接な関係があります。なので、「等式」にしてしまっている。これが概要です。

これを説明するには、ゼータ関数、そして、解析接続が何か、の説明が必要です。そして、解析接続を説明するには、複素関数やその微分の話が必要になってきます。

しかし、この数式の説明は、出てくる用語を解説するだけではダメです。「両辺が一致しているわけではないのに、両辺を等式で結ぶ」ということについて触れなければなりません。これがかなりやっかいだと個人的には思っています。

「違うのに等しいとする」。回答時にこれをどう表現するかを悩んだのですが、そういえば複素数も似たようなことをやっているのではないか、と後日思いついたんですよね。複素数の世界では、「iを2乗したら-1になる」と考えます。2乗して-1になる実数なんてないんだけど、無理やり「2乗して-1となる数が存在する」という世界を考えてみる。そうすると新しい何かが見えてくる。そういったことに似ているのかもしれないなぁ、と思いました。

まぁ、ぐだぐだいってると余計にわからなくなるので、回答そのものの紹介に移りましょう。

回答について

さて、僕の回答にコメントをつけていきます。流れとしては、説明の概要の後に、複素関数の話、微分の話、解析接続の話、ゼータ関数の話と続いていきます。そして、最後にこの等式の説明をし、直感的にわかった気になる(しかし数学的には間違っている)-1/12の算出方法を書く、というものです。

説明の概要

まず、僕は次のように回答を始めました。

ここの「1+2+3+4+…」は、普通の人が思っている「1+2+3+4+…」ではありません。

何を言っているのかわからねーと思うが、つまりはそういうことです。左辺は解析接続前の表現ですが、この等式では解析接続後とみなしているからです。つまり、左辺の表現が左辺の中身を表してはいないんですね。

やっていることとしては、かなり乱暴に言うと、こういうことに似ています。例えば、1+x+x^2+x^3+…というのは、xの絶対値が1より小さい場合、1/(1-x)と一致します。ここにむりやりx=2として「1+2+4+8+…=-1」としているようなものです。

ここでは、解析接続の概要について説明しています。一応、「和は無限大になるはずのに、答えがマイナスになるような例」を持ってきています。ただ、上の表現は本当に乱暴です。こんな算出方法なら、「数学的にデタラメなことをやっているのではないか」と考えてしまう人が出てくるかもしれません。なので、その次で即修正しています。

もちろん、これを本気で言うのはただのバカです(そもそもx=2のときには、上の和は1/(1-x)に収束しないからです)。しかし、これが複素解析という分野の話になると、少し事情が異なってきます。複素解析では、一部で定義した関数を拡張して考える、というのはとても自然な発想なんです。本題に入るまえに、ちょっと長いですが複素解析の話を簡単に書きます。

「収束する範囲でしか成り立たない式を、収束しない範囲でも使う」。これはもちろん間違いです。しかし、複素解析の分野で出てくる解析接続なら、話は別です。問題の数式でもゼータ関数の解析接続を使うので、解析接続自体の説明は避けられません。そして、そこに行くには複素解析の話をせざるをえません。

ただ、冒頭から複素解析の話をし出すと全く意味不明だと思うんですよね。「自然数の和の話をしているのに、なぜ複素数が出てくるのか」と。なので、ここでは、冒頭でちょっと乱暴だけどやっていることの概要を伝えて興味をひかせつつ、寄り道しちゃうけど許してね、とやっています。

複素解析の話

複素解析とは、複素数の関数に対して微分や積分を考える分野です。基本的には実数の関数のときと似ているのですが、複素関数の微分というのは、実数の関数の微分より条件が厳しいんです。

ますは、複素解析の話を始めています。が、さっさと微分の話に移ろうとしています。「複素解析って実数の微分積分を複素数でやるだけだよ」という簡単な説明にしています。

まぁこれは間違ってはいないのですが、実はここもひっかかるととことん泥沼にはまれるんですよね。xの2乗とか3乗というような数式に対してxに複素数を入れる、そういうことをイメージするのが普通だと思います。しかし、実際には、sinxやe^xのxに複素数を入れる、ということもします。「角度が複素数?」「複素数乗?」と、新たな疑問がどんどん湧いてきます。

しかし、そうしたことを説明していては、脱線しまくりなので、ここは「複素関数の微分」の話に早く視点を移させるために、「実数の関数とだいたい同じ」という、ざっくりな説明になっています。

複素関数の微分の話

さて、猛スピードで複素関数の話は終わらせて、続いては複素関数の微分の話です。

微分というのは、ざっくりいうと「xをちょっと動かしたときにf(x)がどれだけ動くか」という比率を表したものですが、実数の場合、直線なのでxの動かし方が大小2方向しかありません。しかし複素数の場合は平面なので、動かし方がたくさんあるんですよね。上下左右に加え、斜めもあるし、回転しながらもありえる。どんな動かし方をしても、収束値が1つにならないと微分可能とはいえません。なので、「実数の世界で微分可能」というのと「複素数の世界で微分可能」というのは、ぜんぜん厳しさが違うんです。

ここで言いたいのは、「実数でも複素数でも、微分の定義は同じ、しかし、条件の厳しさが全然違う」ということです。微分とは、「(f(x+Δx)-f(x))/Δx」でΔxを0にしたときの極限値です。今回の説明ではできる限り数式を使わないようにしようと思っていたので、この極限の式もざっくりとした言葉で表現しています。Δxというのは「xをちょっと動かす」に相当しているわけです。

で、この動かし方が実数では2方向、複素数では360°全方向なので、同じ式でも条件の厳しさが違うんだよ、ということを言っています。この「条件の厳しさ」というのが、後で効いてくるので、強調気味に書いています。

「複素数の世界で微分可能」という条件が厳しすぎるため、次のような不思議なことが成り立ってしまいます:「微分可能な2つの複素関数が、一部分で一致していたら、全体でも一致している(ざっくり表現)」。他にも不思議なことが成り立つのですが、このようにもはや「実数の世界の微分可能」とは全く違うため、「複素数の世界で微分可能」な関数には「正則関数」という新たな名前がついているくらいです。

ここは、いわゆる一致の定理の説明です。解析接続の説明には絶対に必要なものなので書きました。そして、「微分とは違う名前がついているくらい、複素関数での微分の条件は厳しいんだよ」というのを念押ししています。ついでに、あとで「正則関数」という言葉が使えるようにもしています。

複素関数での微分は本当に条件が厳しすぎて、他にも「一回微分可能だったら無限回微分可能」「無限級数の和で書ける」というようことが成り立ちます。これは実数の世界では考えられない位厳しいです。が、高校の範囲で出てきた、実数の世界で微分可能な関数は、複素数の世界でも大体微分可能なので、「条件が厳しいから該当する関数がない」みたいなことは起きません。

解析接続について

上で書いた性質を知れば、一部分で定義されている正則関数をどんどん広げていきたくなります。もし広げられれば、そんな正則関数は1つしかないとわかっているので、どうせなら広くしたほうがいいですよね。数学の世界では、複素解析に限らず、どんどん広げて拡張する、というのはよくある話なんです。このように、正則な複素関数の定義域をどんどん広げていく手法を「解析接続」と言います。

やっと解析接続の話です。「2つの正則関数が部分的に一致⇒全体でも一致」を使えば、「正則な関数の定義域を正則のまま広げて得られる関数は1つしかない」ということがわかります。なので、できる限り広げたくなるし、広げた後は新しい関数に置き換えて考えていこう、という発想になります。

もし広げ方が複数あれば、関数の定義域を広げる意味はありませんよね。なので、「微分可能というのは条件が厳しい」というのも重要だし、「微分可能なら一致の定理が成り立つ」というのも重要だし、「一致の定理がなりたつから解析接続ができる」というのも重要です。この流れを、最短で説明しているのがここまでの回答です。

ゼータ関数について

ここでようやく本題に戻ってくるのですが、「1+2+3+4+…」を計算するときの手順を書いていきます。まず、この式を一般化した次の関数を考えます。

Σn^(-s) (nはすべての自然数を走る、sは任意の複素数)

これには「ゼータ関数」という名前がついていて、ζ(s)と表します。ちなみに、ζ(-1)というのが、「1+2+3+4+…」と一致しているわけですね(この時点では)。

ついに問題の等式です。ゼータ関数を紹介し、”この時点では”「1+2+3+4+…」と「ζ(-1)」が一致していることを確認しています。「この時点では」がかなり重要です。あとで中身が変わってくるからです。

このゼータ関数は、sの実部が1以下の場合は発散しますが、それ以外では収束します。そこで、その収束する部分に対しては収束値を計算し、次に上述の解析接続をするんですね。収束している領域では一致していて、かつ、正則な関数というのは1個しかないので、「発散している領域に対しては、その正則な関数で上書きする」ということです。

つまり、ζ(-1)はもともと発散していたんだけれども、解析接続によってζ(-1)が定義できるようになったんです(正則なまま拡張する、という条件で広げているので定義できるようになった)。複素解析の世界では、この新しい関数をゼータ関数だと思い直して扱うんです。もちろん、もともと発散していた領域に対しては、中身は違っているんですよね。

この新しいゼータ関数でのζ(-1)は、特殊な計算をすると-1/12と計算できるんですね。ただ、このζ(-1)を「1+2+3+4+…」と書いちゃうのは、厳密に言えば間違っているんです。解析接続した後は、式も変わっているはずだからです。

しかし、複素解析を学んだ人たちにとっては、解析接続をするのは自然なことだし、ゼータ関数が上のように解析接続して得られた関数であることも知っています。なので、「1+2+3+4+…=-1/12」と書いただけで、「あぁ、Σn^(-s)を解析接続してs=-1を入れた値が-1/12なんだな」とわかるんですね。

もともと、「1+2+3+4+…」と「ζ(-1)」は一致していました。しかし、ゼータ関数を解析接続して得られた新しいゼータ関数に対して-1を代入した新しい「ζ(-1)」は「1+2+3+4+…」とはもう別の内容です。新しい「ζ(-1)」が-1/12だったとしても、「1+2+3+4+…」が-1/12とはなりません。

ただ、解析接続というのは強力な武器であり、複素解析における「正則性」という条件がとても強いため、解析接続前後の式を結ぶというのは、丸っきりダメというわけではないんですよね。そういうちょっともやっとした説明です。数学をやっている人には、「解析接続前後をくっつけたんだな」とわかるし、それをつなげることに意味があると思っているからやっているわけです。その結果、そうした流れを知らない一般の人には、謎の数式に見えるわけですね。

無理やり-1/12を導出する方法

続いては、「無理やり」-1/12を導出する方法です。「無理やり」というのは、「数学的には正しくないけど、形式的に式変形をする」という意味です。

ちなみに、「無理やり」-1/12となる計算も書いておきましょう。上のように解析接続をすることには意味はありますが、次の式変形にはあまり意味はないです。その点ご注意ください。

まず、xの絶対値が1未満なら次が成り立ちますね。等比級数の和です。
1+x+x^2+… = 1/(1-x)

これをxの関数だと思って、両辺微分するとこうなります。
1+2x+3x^2+… = 1/(1-x)^2

上の式は、x=-1の時は成り立ちませんが、「無理やり」代入します。
1-2+3-4+5-… = 1/4

ここで左辺を「1+2+3+4+…」が無理やり出てくるように変形します。よくみると、偶数の箇所だけ符号が違うので、そこだけひけばいいですね。
1-2+3-4+…
= (1+2+3+4+…) -2×(2+4+6+…)
= (1+2+3+4+…) -4×(1+2+3+…)
= -3×(1+2+3+4+…)

これが上の式の右辺1/4に一致するので、1+2+3+4+…は-1/12と「無理やり」計算できます。しかし、何回も書きますが、数学的にはこの式変形は意味がないです。発散する式に値を代入しているからです。ただ、分かったつもりにはなるかもしれません。

元の質問に対する回答として、この導出から書くという方法もあったのですが、悩んだ結果これを後回しにすることにしました。

というのは、この導出だけ読んで「なるほどそうか」と思われるのが嫌だったからです。解析接続は意味のある数学ですが、上の式変形は数学的には間違っている意味のない説明です。なので至る所で「無理やり」と書いています。「数学的には間違ってるよ」アピールです。

x=-1とするところはもちろん間違いです(収束しないのに収束するときの式を使っているから)。しかし、その後に出てくる4行の式変形も実は数学的には「やってはいけないこと」をやっています。無限個の足し算引き算は、順番を変えたら答えが変わることがあるので、上のような式変形はダメなんですよね。しれっとやってますが、まぁここも「無理やり」ってことです。

ちなみに、「1+2+3+4+…=-1/12」の左辺は解析接続前の表現なので、こう書くのは乱暴なのですが、上の変な式変形からわかるとおり、まったくでたらめだというわけでもありません。この式に意味付けをする分野もあります。なぜ意味づけが可能かというと、この値の算出の背景に解析接続という複素解析の理論が使われているからだと思います。間違っても、「上の式変形が成り立つから」とは思わないでください。

この式変形は、-1/12を導出する正式なものではないけれど、まったく意味不明な数字ではないんですよ、と言っておきたかったんですね。じゃあどういう意味か、というと、上で書いたように、解析接続によってこの式が結ばれていると考えられるんですよ、ということですね。

これで、回答おしまいです。

この式の罪深さについて

この式「1+2+3+4+…=-1/12」は、小学生でもそれぞれのパーツの意味はわかります。しかし、「この式が何を意味しているのか」を説明するには、ゼータ関数の解析接続の話が必要になってきます。これは数学専攻の大学生が2年目くらいで習う内容であり、とても小学生に教えられる内容ではありません。しかも、「厳密には違うけど意味のある等式」というよくわからない説明です。

広く門戸を開いていると見せかけて、中に入った途端に一見さんお断りな態度に急変するという数式です。これに興味を持った人が数学の得意な人に聞いた場合、悲劇しか起きません。なぜか複素数の話が出てくるからです。これはもう、聞いた方も聞かれた方も不幸で、こんなキャッチーな数式は世に出回るのを禁止した方がいいレベルです。それほど、この数式は罪深いと思います。

しかし、とても注意をひく数式なので、テレビやネットでネタとして紹介されたりすることもあるんだと思います。過去にも知恵袋で質問している人もいたし、テレビでも実際に紹介されたこともあるらしいです。

フェルマーの最終定理も、「入り口は優しそうで、数式の理解は厳しい」という点で、同類な匂いがします。

怒られる可能性があるのはだれか

僕の回答後、質問者からこんなコメントがありました。

今回は、数学の専門家を怒らせるかも、とドキドキしつつ質問したのですが、質問して良かったです

質問をして怒られるということはほとんどないと思います。もちろん、「大至急! 学校の宿題です。わかりやすく、途中の式も書いて下さい。答えだけではダメです」などと書いていたら、僕も手斧を持って炎上に参戦したと思いますが、この質問はそうではありません。

どちらかというと、怒られる可能性があるのは、僕です。数学は、進めば進むほど見える景色が違ってきます。僕は僕に見える範囲でしか理解できませんし、説明もできません。しかし、もっと数学レベルの高い人からすると、よりたくさんのものが見えています。「こんな回答ではダメだ」と僕が怒られる可能性はあります。

例えば、「1+2+3+4+…=-1/12」の意味づけを、僕はゼータ関数を使って説明しましたが、他にも方法はあります(wikipediaにも「ラマヌジャン総和法」を使う方法が書かれています)。ゼータ関数を使う説明が最も一般的であると僕は思っているのでそうしましたが、もっとうまく正確に説明できる方法は他にもあるかもしれません。

最後に

「違うのに等しいとする」、これが一番説明しづらい点です。解析接続の効果をもっと言えればよかったのですが、僕にはその能力がありません。それが言えればよりすっきりするかもしれません。

ただ、はてブコメントでも評価してくれる人がいたので、書いてよかったです。当分長文回答はしないと思いますが。

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