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大数2015年2月号学コン第5問を解いたよ

前にも大数の学コンを解いたことがあるけど、今回は「大学への数学」2015年2月号の学力コンテスト第5問を解いてみます。整数問題です。

問題
(1)2^mを5で割った余りを求めよ(mは自然数)
(2)2^m=x^2-65となる自然数m,xを求めよ

(1)は今年のセンター数学IIB第3問(1)に通じるものがありますね。m=4n-3のときは2、m=4n-2のときは4、m=4n-1のときは3、m=4nのときは1となります(nは自然数)。これは書き出して少し考えればわかります。

問題は(2)です。(1)では5で割った余りを考えたので、ここでもx^2を5で割った余りを考えてみましょう。ここは、そういうふうに考えるのが自然な流れってもんでしょう。(そもそも整数問題で「余り」に着目するのは自然な発想です)

x=5a+bとかけます(aは整数、bは0,1,2,3,4)。2乗して展開すれば、x^2を5で割った余りとb^2を5で割った余りが等しくなることがわかります。bは5パターンしかないので書き出してみると、b^2を5で割った余りは、0か1か4しかないことがわかります。よって、条件式の両辺を5で割った余りは、1か4の場合しかありません。このことと(1)の解答から、m=4n-2,4nの場合しかありえないことがわかります。つまり、mは偶数であるということです。

mは偶数なので、ある自然数kを使って、m=2kと書くことができます。この時、条件式は次のように変形できます。

x^2-2^m=65
(x-2^k)(x+2^k)=65

65=5×13なので、最後の式の左辺は、1×65か5×13の場合しかありません。簡単な連立方程式を解くと、前者なら、k=5,x=33であり、後者なら、k=2,x=9となります。よって求めるmとxは、(10,33)と(4,9)です。

感覚的には、とても大きなxとmに対して、たまたまx^2-2^mが65になってしまうこともありそうな気がするんですけどね。kが大きい数字の場合、(x-2^k)が正になる時には、(x+2^k)はかなり大きな数になるので、65にはなりえないんですね。

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