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京大数学で、理系と文系で「一文字だけ」違う問題が出題

僕が作った新しいサイト「なかけんの数学ノート」では、現在、大学入試の数学の問題を解いてアップしてるんですが、今年の問題でおもしろいものがあったので紹介します。

京都大学の入試問題なんですが、理系に出されたものと文系に出されたものとで、一文字だけ違う、っていう問題が出たんですよね。

実際の問題は次の通りです(リンク先に解答も載せています)。まずは、理系の問題。

【問題】
四面体OABCが次の条件をみたすならば、それは正四面体であることを示せ。
条件:頂点A、B、Cからそれぞれの対面を含む平面へ下した垂線は対面の外心を通る。

京都大学 理系 2016年度 第3問 解説

そして、これが文系の問題。

【問題】
四面体OABCが次の条件をみたすならば、それは正四面体であることを示せ。
条件:頂点A、B、Cからそれぞれの対面を含む平面へ下した垂線は対面の重心を通る。

京都大学 文系 2016年度 第4問 解説

どこが違うかわかります?

パッと見たとき、僕は理系と文系で共通の問題が出たと思ったんですよね。実際、文理共通の問題が出るのは、珍しいことではありません。しばらく勘違いしたままだったのですが、ツイッターで指摘されてはじめて気づきました。ちなみに違うところは、「対面の外心を通る」と「対面の重心を通る」です。外心は、外接円の中心のことですね。

この問題、一文字しか違いませんが、難易度は全然違います。空間図形は使える道具が限られているので、座標で攻めるか、ベクトルで攻めるか、くらいしかありません。「重心」の場合は、ベクトルの表現が使いやすいので、これを使います。1辺の長さが全部等しくなることを、ベクトルを使って頑張って計算すれば解けます。

一方、理系の問題にある「外心」の場合、同じようにベクトルを使うと泥沼にはまってしまいます。見た感じ、ベクトルを使えば解けそうな気はするのですが、罠です。一方、図形的に考えれば、あっさり解けてしまいます。答えだけを見れば、理系の方が簡単です。

状況に合わせて、ちゃんと道具を使い分けられるか。理系に対しては、そういった点を試す問題が出題されたのかなと思います。

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