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2015/01/23 20:08

2015年センター試験 数学I・数学A旧課程 第2問 解説

第2問

$y=-x^2+2x+2$の頂点を求めます。
\begin{eqnarray}
y &=& -x^2+2x+2\\
&=& -(x^2-2x+1)+3\\
&=& -(x-1)^2+3
\end{eqnarray}
この式から、頂点は$(1,3)$とわかります。【ア:1、イ:3】

以後、上の式を$x$軸方向に$p$、$y$軸方向に$q$だけ移動した、$y=f(x)$について考えていきます。このとき、頂点が$( 1+p, 3+q )$になることに注意します。

(1) まずは、$2 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になる場合を求めます。元のグラフが上に凸であることから考えると、区間の左端が最大値になるには、頂点の位置が区間の左端かそれより左にないといけません。下のグラフをみると、関数がこれより左なら、区間の左端で最大値をとることがわかります。
2015-center-1a-101

これを式で書くと、$1+p\leqq2$となるので、$p\leqq1$であることがわかります。【ウ:3、エ:1】

次に最小値が$f(2)$になる場合を求めます。最小値になりうるのは、区間の左端か右端です。下のグラフより最小値が$f(2)$になるには、頂点の位置が区間の真ん中かそれより右にないといけません。
2015-center-1a-102

これを式で書くと、$1+p\geqq3$なので、$p\geqq2$であることがわかります。【オ:2、カ:2】

(2) 頂点の座標が$( 1+p, 3+q )$となるため、$y=f(x)$は次のような式になります。
\begin{eqnarray}
y &=& – \{ x-(1+p) \}^2 +3+q
\end{eqnarray}
$y=f(x)$が(-2, 0)を通るとき、
\begin{eqnarray}
0 &=& – \{ -2-(1+p) \}^2 +3+q \\
q &=& ( p+3 )^2 -3 \\
q &=& p^2 + 6p +6 \\
\end{eqnarray}
が成り立ちます。【キク:66】

このとき、$f(x)$は
\begin{eqnarray}
– \{ x-(1+p) \}^2 +3+q
&=& – ( x-1-p )^2 +3+p^2+6p+6 \\
&=& – ( x-1-p )^2 +(p+3)^2 \\
&=& – \{ ( x-1-p )^2 – (p+3)^2 \} \\
&=& – \{ ( x-1-p ) + (p+3) \} \{ ( x-1-p ) – (p+3) \} \\
&=& – ( x +2 ) ( x -2p -4) \\
\end{eqnarray}
となります。【ケコサ:224】

(3) $f(x)>0$の解が、$-2 < x < 3$となる場合を求めます。これは、$f(x)=0$の解が、$x=-2,3$であることと同じ意味です。 2015-center-1a-103

$x^2$の係数が$-1$であることから考えると、$f(x)$は次のようになります。
\begin{eqnarray}
f(x) &=& -(x+2)(x-3)\\
&=& -(x^2-x-6)\\
&=& -\left(x^2-x+\frac{1}{4} – \frac{1}{4} -6 \right) \\
&=& -\left(x-\frac{1}{2} \right)^2+ \frac{25}{4}
\end{eqnarray}

$y=f(x)$の頂点が$( 1+p, 3+q )$であり、上の式から$( \frac{1}{2}, \frac{25}{4} )$でもあるので、$p=-1/2$と$q=13/4$がわかります。【シスセ:-12】【ソタチ:134】

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