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2015/01/23 20:08

2015年センター試験 数学I・数学A旧課程 第3問 解説

第3問

三角形ABCにおいて、AB=$\sqrt{7}$、BC=2、CA=3とします。余弦定理より、
\begin{eqnarray}
\cos \angle C &=& \frac{2^2+3^2-\sqrt{7^2}}{2\cdot 2\cdot 3}\\
&=& 1/2
\end{eqnarray}
と求められます。【アイ:12】

よって、$\angle$Cは60°であり、$\sin\angle C=\sqrt{3}/2$であることもわかります。【ウエ:32】

正弦定理より、三角形ABCの外接円Oの半径Rは、
\begin{eqnarray}
R = \frac{AB}{2\sin\angle C}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{21}}{3}
\end{eqnarray}
と求められます。【オカキ:213】

円OのCを含まない弧ABと弦ABで囲まれた面積(薄いグレーの部分)を求めます。
2015-center-old-1a-301

これは、扇型OABから三角形OABをひくことで求めることができます。$\angle$Cが60°なので、$\angle$AOBは120°であることに注意すると、
\begin{eqnarray}
& & \pi R^2 \frac{120}{360} – \frac{1}{2}OA\cdot OB \sin 120° \\
&=& \frac{21}{9} \frac{1}{3} \pi – \frac{1}{2} \frac{\sqrt{21}}{3} \frac{\sqrt{21}}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} \\
&=& \frac{7}{9} \pi – \frac{7\sqrt{3}}{12}
\end{eqnarray}
となります。【クケコサシス:797312】

BCをCの側に延長してCD=5となるように点Dをとります。このとき、$\angle$ACBが60°なので$\angle$ACDは120°になります。余弦定理から、
\begin{eqnarray}
AD^2 &=& AC^2 + CD^2 – 2AC\cdot CD \cdot \cos \angle ACD \\
&=& 3^2 + 5^2 – 2\cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{-1}{2} \\
&=& 9+25+15=49
\end{eqnarray}
となるので、AD=7となります。【セ:7】

ABのAの側の延長と三角形ACDの外接円との交点でAと異なるものをEとします。
2015-center-old-1a-302

このとき、方べきの定理から、
\begin{eqnarray}
AB \cdot EB = BC \cdot BD = 2 \cdot 7 =14
\end{eqnarray}
となります。【ソタ:14】

AB=$\sqrt{7}$なので、上の結果から、EB=$2\sqrt{7}$とわかります。よって、AE=$\sqrt{7}$です。【チ:7】

三角形ABCの面積と三角形ABDの面積の比は、BCとBDの比と一致し、2:7となります。また、三角形ABDの面積と三角形EBDの面積の比は、ABとEBの比と一致し、$\sqrt{7}$:$2\sqrt{7}$=1:2となります。よって、三角形ABCの面積と三角形EBDの面積の比は、2:14=1:7となります。【ツテ:17】

三角形EBDの重心をGとします。AはEBの中点なので、GはAD上にあります。DG=AD×2/3で、AD=7なので、DG=14/3となります。【トナニ:143】

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