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2015/01/23 20:08

2015年センター試験 数学I・数学A旧課程 第4問 解説

第4問

同じ大きさの5枚の正方形の板を一列に並べて壁に固定し、赤緑青の3色を使って塗りつぶすという問題。「壁に固定する」というのは、「回転して一致するものを区別します」ということですね。隣り同士を同じ色で塗るのはダメ、2色だけで塗るのはOKという条件付きです。

(1) さて、このような塗り方が何通りあるか考えます。左端は、3パターン考えられます。2番目は、左端と違う色なら何でもいいので2パターン。3番目は、2番目と違う色なら何でもいいので2パターン。同様に考えると、
\begin{eqnarray}
3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 &=& 48
\end{eqnarray}
となります。【アイ:48】

(2) 左右対称となる塗り方を考えます。左端は3パターン考えられますが、左右対称なので、今回は自動的に右端も決まってしまいます。左から二番目は左端と違う色ならいいので2パターンありますが、右から二番目も自動的に色が決まってしまいます。真ん中は、左右と違う色ならいい(といっても左右は同じ色ですが)ので、2パターンあります。
\begin{eqnarray}
3 \cdot 2 \cdot 2 &=& 12
\end{eqnarray}
となります。【ウエ:12】

(3) 青と緑の2色で塗り分ける方法を考えます。まずは左端が2パターン。しかし、そのあとはもう自動的に決まってしまいます。なので、2通りしかありません。【オ:2】

(4) 赤が3枚になる場合を考えます。これは、両端と真ん中が赤の時しかありません。このとき、左から2番目は2通り、右から2番目も2通りあるので、2×2=4通りです。【カ:4】

(5) 赤が1枚になる場合を考えます。まずは、どちらかの端が赤になる場合。その隣は2パターンですが、これ以上赤が使えないので、それよりあとは自動で色が決まってしまいます。赤になるのが右端か左端かで2通り、その隣りが2通りなので、2×2=4通りです。【キ:4】

端以外の1枚が赤の場合を考えます。この時、その左隣りの塗り方は2通りありますが、それより左は自動で色が決まってしまいます。同様に右隣りも2通りありますが、それよりさらに右にある正方形は自動的に色が決まってしまいます。端以外の1枚を選ぶ方法は3通り、左隣りは2通り、右隣りも2通りなので、
\begin{eqnarray}
3 \cdot 2 \cdot 2 &=& 12
\end{eqnarray}
となります。【クケ:12】

合わせると、赤が1枚の場合は、4+12=16通りとわかります。【コサ:16】

(6) 赤が2枚になる場合は、全体から引けば求められます。すべての場合が48通り、赤が0枚の場合は(3)より2通り、1枚の場合が(5)より16通り、3枚の場合が(4)より4通りなので、求める場合の数は
\begin{eqnarray}
48 – 2 – 16 – 4 &=& 26
\end{eqnarray}
とわかります。【シス:26】

(7) すべての塗り分け方から1つ選んだ時の赤の枚数の期待を求めます。これは、今までの結果を使って次のように算出することができます。
\begin{eqnarray}
& & 1\cdot \frac{16}{48} + 2\cdot \frac{26}{48} + 3\cdot \frac{4}{48} \\ \\
&=& \frac{16+52+12}{48} = \frac{5}{3}
\end{eqnarray}
これが期待値となります。【セソ:53】

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