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11で割った余りを簡単に出す

中学校の数学で、3で割った余りとか、9で割った余りを簡単に求める方法を習った気がする。例えば、951を3で割った余りと言うのは、各位を足した答え、つまり、9+5+1=15を3で割った余りと等しくなるので、余りは0。9で割った余りを考える時も同様で、各位を足して9で割った余りを考えればいい。

なぜこれでいいかというと、10^nというのが、「99…9+1」と書きかえられることによる(9の数はn個)。そのため、a×10^nは「a×99…9+a」と変形でき、99…9の部分は3や9で割り切れるから、その位の数aについて考えればよくなる。つまり、3や9で割る場合、元の数について計算した余りと、その数の各位の和について計算した余りが同じになる。

これに関連して、ネットでふと「11で割った余り」について書いてる記事を見かけた。11で割った余りも似たような考え方でいけるんだけど、ちょっと難しい。

3や9の場合と同じで、10^nをどう変形するかがカギとなっている。今回は「(11-1)^n」と変形するのがポイントだ。これを展開すると、11のナントカ乗というのがいっぱい出てきて、そういった項はすべて11で割り切れる。唯一割り切れない項が最後に出てくる。それが「(-1)^n」。nが奇数なら-1、偶数なら1だ。

つまり、11で割った余りを計算するには、次のようにすればいい:「元の数字の各位について、10の奇数乗ならその位の数を引き、偶数乗なら足して、出した答えを11で割る」。ちとめんどくさい。

例えば、951の場合。900+50+1とまず分解する。900は9×10^2で偶数乗なので、9を足す。以下、同様に計算した「+9-5+1」を11で割った余りを考えればよい、ということ。余りは5とわかる。

偶数乗とか奇数乗とかがわかりにくいので、もう少し簡単に書くと、こういう風にも書ける:「元の数字の1の位を足す、10の位を引く、100の位を足す、というように、下から順番に足し引きして出した答えを11で割る」。

にしても、めんどくさい。だから、11で割った余りは、3や9の場合ほど流行らないんだろうな。

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